高校物理・数学成績アップ術

微風出版「導出物理」の著者による物理・数学の学習戦略ブログ

位相が2分のπずれる…が覚えられない

オームの法則:V=IRは有名ですが、交流の世界でも同様にV=IZという式があります。

ただし電圧Vも電流IもインピーダンスZも複素数であることに注意しましょう。

ここで電流をI=I0(cosθ+jsinθ)とします。(電磁気学ではjを虚数単位とする)

ところで電気抵抗、コイル、コンデンサーのインピーダンスは次のように覚えるのでした。

電気抵抗:Z=R  コイル:Z=jωL     コンデンサ: Z=1/jωC

注意したいことはjと1/jの偏角です。j=0+jですから、(0,1)の座標と原点を結ぶ線分と実軸との成す角、つまり偏角π/2です。一方1/j=-j=0-jですから、偏角は-π/2ですね。

さて、コイルに流れる交流電流をIとしたとき、この両端の電圧Vは

V=I×jωL=ωLI×j よって、電圧の振幅はI0ωLで位相は(θ+π/2)となります。

極形式の積の性質によって、jをかければ位相はπ/2増加します。(数学の知識)

 

同様にコンデンサに流れる交流電流をIとしたとき、この両端の電圧Vは

V=I×1/jωC=I/ωC×(-j) よって、電圧の振幅はI0/ωCで位相は(θ-π/2)となります。

極形式の積の性質によって、-jをかければ位相は-π/2増加します。(数学の知識)

 

逆に電圧を位相の基準として、V=V0(cosθ+jsinθ)としても同じように考えることができます。V=IZより、I=V/Zです。これによって、同様に計算すれば、電圧の位相を基準としたときの電流の位相が簡単にわかります。

 

要するにjがかけられていれば位相はπ/2増加し、分母にjがあれば位相はπ/2減少するということになります。

 複素数による計算の威力は素晴らしいですよね。高校物理の参考書や教科書のどこにも書いていない内容ですが、導出物理にはしっかり書きました。この感動を早く味わってほしいです。

  

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